«ὅπερ ἔδει δεῖξαι»: Τι σημαίνει η φράση που χρησιμοποιούσαν οι αρχαίοι Έλληνες μαθηματικοί;

Η έκφραση αυτή βρίσκει τις ρίζες της στην αρχαία ελληνική φράση “οπερ εδει δειξαι”. Χρησιμοποιείται για να υποδηλώσει την επιτυχή ολοκλήρωση μιας μαθηματικής ή λογικής απόδειξης, η φράση υποδηλώνει ότι το αποδεικνυόμενο αποτέλεσμα ευθυγραμμίζεται με αυτό που έπρεπε να αποδειχθεί.

Στο ιστορικό πλαίσιο, η φράση αυτή χρησιμοποιήθηκε κυρίως από αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς, συμπεριλαμβανομένων φωτεινών προσωπικοτήτων όπως ο Ευκλείδης και ο Αρχιμήδης, καθώς ολοκλήρωναν τις μαθηματικές τους αποδείξεις. Η χρήση αυτής της έκφρασης από αυτούς υπογραμμίζει τη διαχρονική σημασία της στην ιστορική εξέλιξη της μαθηματικής συλλογιστικής.

Εμβαθύνοντας περαιτέρω στην ιστορία αυτού του φαινομένου, γίνεται φανερό ότι η ίδια έκφραση μεταφράζεται στα λατινικά ως “quod erat demonstrandum”. Σε γραπτή μορφή, το λατινικό ισοδύναμο συχνά συντομεύεται ως Q.E.D. ή QED, παγιώνοντας την παρουσία της τόσο στην αρχαία όσο και στην κλασική μαθηματική παράδοση. Η συνεχής χρήση αυτής της έκφρασης σε διαφορετικούς πολιτισμούς και χρονικές περιόδους υπογραμμίζει τη διαρκή σημασία της στο πεδίο του λογικού και μαθηματικού λόγου.

Ποιοι ήταν οι αρχαίοι Έλληνες μαθηματικοί;

ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ ο ΣΥΡΑΚΟΥΣΙΟΣ (287-212 π.Χ.)
ΕΡΑΤΟΣΘΕΝΗΣ ο ΚΥΡΗΝΑΙΟΣ (276-194 π.Χ.)
ΑΠΟΛΛΩΝΙΟΣ ο ΠΕΡΓΑΙΟΣ (265-170 π.Χ.)
ΝΙΚΟΜΗΔΗΣ (200 π.Χ. άκμασε)
ΙΠΠΑΡΧΟΣ ο ΝΙΚΑΕΥΣ (190-120 π.Χ.)
ΘΑΛΗΣ ο ΜΙΛΗΣΙΟΣ (640-546 π.Χ.)
ΑΝΑΞΙΜΑΝΔΡΟΣ ο ΜΙΛΗΣΙΟΣ (611-546 π.Χ.)
ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ ο ΣΑΜΙΟΣ (580-500 π.Χ.)
ΦΙΛΟΛΑΟΣ ο ΚΡΟΤΩΝΙΑΤΗΣ (480-400 π.Χ.)
ΙΠΠΟΚΡΑΤΗΣ ο ΧΙΟΣ (470-400 π.Χ.)
ΟΙΝΟΠΙΔΗΣ ο ΧΙΟΣ (440 π.Χ άκμασε)
ΔΗΜΟΚΡΙΤΟΣ ο ΑΒΔΗΡΙΤΗΣ (460-370 π.Χ.)
ΑΡΧΥΤΑΣ ο ΤΑΡΑΝΤΙΝΟΣ (428-365 π.Χ.)
ΠΛΑΤΩΝ ο ΑΘΗΝΑΙΟΣ (427-347 π.Χ.)
ΘΕΑΙΤΗΤΟΣ ο ΑΘΗΝΑΙΟΣ (417-369 π.Χ.)
ΕΥΔΟΞΟΣ ο ΚΝΙΔΙΟΣ (407-354 π.Χ.)
ΜΕΝΑΙΧΜΟΣ ο ΠΡΟΚΟΝΝΗΣΙΟΣ (375 π.Χ γέννηση)
ΠΥΘΕΑΣ ο ΜΑΣΣΑΛΙΩΤΗΣ (330 π.Χ. άκμασε)
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ (300 π.Χ. άκμασε)
ΑΡΙΣΤΑΡΧΟΣ ο ΣΑΜΙΟΣ (320-250 π.Χ.)
ΠΟΣΕΙΔΩΝΙΟΣ από την ΑΠΑΜΕΙΑ (135-51 π.Χ.)
ΔΙΟΝΥΣΟΔΩΡΟΣ ο ΜΗΛΙΟΣ (2-1 αι. π.Χ.)
ΠΤΟΛΕΜΑΙΟΣ ΚΛΑΥΔΙΟΣ (100-178 μ.Χ.)
ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ ο ΑΛΕΞΑΝΔΡΙΝΟΣ (250 μ.Χ. άκμασε)
ΠΑΠΠΟΣ ο ΑΛΕΞΑΝΔΡΙΝΟΣ (300 μ.Χ. άκμασε)
ΥΠΑΤΙΑ (370-415 μ.Χ.)
ΔΙΟΚΛΗΣ (1 αι. π.Χ.)
ΗΡΩΝ ο ΑΛΕΞΑΝΔΡΙΝΟΣ (1 αι. π.Χ. – 1 αι. μ.Χ.)
ΜΕΝΕΛΑΟΣ ο ΑΛΕΞΑΝΔΡΙΝΟΣ (1-2 αι. μ.Χ.)

Ποια ήταν η προσφορά των αρχαίων Ελλήνων στα μαθηματικά;

1. Ευκλείδεια Γεωμετρία:
Ο Ευκλείδης, που συχνά αναφέρεται ως ο “πατέρας της γεωμετρίας”, συνέταξε και οργάνωσε τις θεμελιώδεις αρχές της γεωμετρίας στο έργο του “Στοιχεία” γύρω στο 300 π.Χ.. Το έργο αυτό έγινε ένα ολοκληρωμένο εγχειρίδιο για μαθηματικές σπουδές, καλύπτοντας θέματα όπως η γεωμετρία, η θεωρία των αριθμών και η μαθηματική λογική.

2. Πυθαγόρειο Θεώρημα:
Αποδίδεται στον Πυθαγόρα και στους οπαδούς του, το Πυθαγόρειο θεώρημα συσχετίζει τα μήκη των πλευρών ενός ορθογώνιου τριγώνου. Το θεώρημα, που εκφράζει τη σχέση ως α^2 + β^2 = γ^2, αποτελεί μια κρίσιμη ανακάλυψη στη γεωμετρία και έχει ευρείες εφαρμογές στα μαθηματικά και τη φυσική.

3. Αρχιμήδειος αρχή:
Ο Αρχιμήδης συνέβαλε σημαντικά στη γεωμετρία, τον λογισμό και τη μηχανική. Το έργο του σχετικά με τη μέτρηση των γεωμετρικών σχημάτων, συμπεριλαμβανομένου του υπολογισμού των εμβαδών και των όγκων, έθεσε τις βάσεις για τον ολοκληρωτικό λογισμό. Ο Αρχιμήδης είναι επίσης γνωστός για τις αρχές του περί ισορροπίας και του μοχλού.

4. Κωνικές τομές:
Ο Απολλώνιος της Πέργης, γνωστός ως “Μεγάλος Γεωμέτρης”, επικεντρώθηκε στις κωνικές τομές -καμπύλες που σχηματίζονται από την τομή ενός επιπέδου και ενός κώνου. Η πραγματεία του “Κωνικές” διερεύνησε εκτενώς τις ιδιότητες και τις εξισώσεις των κύκλων, των ελλείψεων, των παραβολών και των υπερβολών, συμβάλλοντας ουσιαστικά στην κατανόηση αυτών των καμπυλών.

5. Ανορθολογικοί αριθμοί
Η ανακάλυψη των ανορθολογικών αριθμών αποδίδεται στους Πυθαγόρειους, οι οποίοι αντιμετώπισαν αριθμούς όπως η τετραγωνική ρίζα του 2, οι οποίοι δεν μπορούν να εκφραστούν ως κλάσματα. Η αποκάλυψη αυτή αμφισβήτησε τις θεμελιώδεις πεποιθήσεις τους σχετικά με τη φύση των αριθμών και οδήγησε σε βαθιές εξελίξεις στη μαθηματική φιλοσοφία.

6. Η μέθοδος της εξάντλησης:
Οι αρχαίοι Έλληνες μαθηματικοί, κυρίως ο Εύδοξος και ο Αρχιμήδης, χρησιμοποίησαν τη μέθοδο της εξάντλησης για τον υπολογισμό εμβαδών και όγκων ακανόνιστων σχημάτων. Αυτός ο πρόδρομος του ολοκληρωτικού λογισμού περιελάμβανε την προσέγγιση του εμβαδού ή του όγκου ενός σχήματος με την εγγραφή ή την περιγραφή του με γνωστά γεωμετρικά σχήματα απλούστερων μορφών.

7. Ευκλείδεια θεωρία αριθμών:
Οι αρχαίοι Έλληνες, ιδίως ο Ευκλείδης, συνέβαλαν σημαντικά στη θεωρία των αριθμών. Τα “Στοιχεία” του Ευκλείδη περιλαμβάνουν προτάσεις σχετικές με τους πρώτους αριθμούς, τη διαιρετότητα και τον ευκλείδειο αλγόριθμο για την εύρεση του μεγαλύτερου κοινού διαιρέτη.

8.Εξελιγμένη τριγωνομετρία:
Ο Ίππαρχος, γνωστός ως “πατέρας της τριγωνομετρίας”, ανέπτυξε έναν εκτενή πίνακα χορδών, πρόδρομο των σύγχρονων τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Το έργο του έθεσε τις βάσεις για τις μεταγενέστερες εξελίξεις στη σφαιρική τριγωνομετρία, απαραίτητη για την αστρονομία και τη ναυσιπλοΐα.

9. Ενσωμάτωση της Άλγεβρας και της Γεωμετρίας:
Ο Διόφαντος από την Αλεξάνδρεια θεωρείται συχνά ως ο “πατέρας της άλγεβρας”. Το έργο του “Arithmetica” ενσωμάτωσε αλγεβρικές εξισώσεις με γεωμετρικά προβλήματα, θέτοντας τις βάσεις για την ενοποίηση της άλγεβρας και της γεωμετρίας στις μεταγενέστερες μαθηματικές εξελίξεις.

10. Ηλιοκεντρικό μοντέλο:
Αν και πρωτίστως αστρονόμος, ο αρχαίος Έλληνας μαθηματικός και φιλόσοφος Αρίσταρχος πρότεινε ένα ηλιοκεντρικό μοντέλο του ηλιακού συστήματος, προτείνοντας ότι η Γη και οι άλλοι πλανήτες περιστρέφονται γύρω από τον Ήλιο. Αν και δεν ήταν ευρέως αποδεκτές στην εποχή του, οι ιδέες του Αρίσταρχου προδιέγραψαν το μεταγενέστερο ηλιοκεντρικό μοντέλο που πρότεινε ο Κοπέρνικος.

Πηγή: lavart.gr